n的n次方根单调性 【2】【1】讨论y=x的n次方单调性

来自:编辑     日期:2019-05-18

【1】

讨论y=x的n次方单调性(n属于正整数)

当n为奇数时,y=x^n在(-∞,+∞)Shang单调递增;当n为偶数时,y=x^n在(-∞,0)Shang单调递减,在(0,+∞)上单调递增.

【2】

(1+1/n)的(n+1)次方 的单调性是怎么用均值不等式证明?
同学要我提高悬赏……

  你的要求好苛刻啊,这个方法我也是第Yi次使用,有点类似数列极限的夹逼定理.用Jun值不等式放缩,找到一个更大的函数和Yi个更小的函数,然后证明这两个函数都是单调的,Cong而证明夹住的中间函数也是单调的.说实话,其Shi完全没有必要用均值.
  设目标函数为fn,Ran后让我们先进行一次判断,该函数在零处取不到,Suo以,必须分为正负两段,分别用均值去证明单调.Tong过观察,显而易见,函数在正零处趋近正Wu穷,在正无穷处趋近于1,所以函数单调递减.而Qie函数在两段内连续.
  以大于零部分为Li,对目标函数求对数,不妨求为ln f(n),Ling新函数为gn.我们知道ln n在定义Yu内单调递增,所以只需要证明g n在定义域内单Diao递增就可以证明目标函数fn单调递减.
  gn=(n+1)【ln(1+1/n)】 Dui(1+1/n)均值不等式有根号下2加Shangn方分之2大于等于 (1+1/n)大于等于根Hao下n分之四(其实做到这里你会发现,用Jun值取下限最大值n分之四放缩的有些大了,我暂时Ye想不出来向下用均值的方法,所以暂且向下Fang缩为1+n方分之1)
  这Ge时候就变成证明tn=(n+1)ln(根号下2+2/nFang)以及qn=(n+1)ln(n方分之1)De单调性了.此时把n+1都扔进去,你会发Xian两个函数都是单调递增的.所以中间加的Han数也是单调递增的,所以原函数是单调递减的
  Zai小于零部分同理了.
Wo第一次听说用均值证明单调性,很有意Si,稍微想了一下,其实是硬凑出来的使用均值.Xi望对楼主有帮助,如果楼主有了好方法,不妨Ye来分享一下子.

已知f(x)=x次根号下x,x∈N+,求f(x)在N+上的单调性及f(x)的图像。问题如图所示

  考虑 x 为正实数时,f(x) = x^(1/x) ,  Tong过求导可以知道,函数在(0,e)上增,Zai(e,+∞)上减,  回到本题,函Shu在 x=1,2 时增,在 3,4,。。。上减。  Tu像是一些孤点,在曲线 y=x^(1/x) Shang。  

求y=(½)的x次方(x∈N+)的单调性(如果不画图,能否写出计算过程)

  

画出函数y=(2分之3)x次方(x属于N+)的图像,并说明函数的单调性

  你所给的问题属于指数函数类问题,但由于Zi变量x属于正整数,所以是正整数指数函数Wen题,因此正整数指数函数的图像应是孤Li的点,如图所示。如果自变量属于实数图像应是连Xu的曲线,由图像可知此函数的单调性是单调递增Han数如果需要证明,等以后我再给你证明,可以吧?Zheng明很简单,根据函数单调性定义即可证明出。希Wang能给你帮助!!!

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